源于古希腊的趣味数学题，是处理大数字的常用技巧（19年12月5日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1046天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

这类题目据说源于古希腊，

详细讲解后小学3年级学生能听懂。

题目（4星难度）：

桌子上有5个盒子，从左到右分别装有8,4,2,1,5个相同的小球。每次操作都从其余4个盒子中各拿出1个小球，放入小球数最少的盒子中；如果有2个盒子中小球数相同，就认为其中左侧盒子的小球数较少；如果某个盒子中只有1个小球，则不从其中拿出小球。经过10000次操作后，第1个盒子中还有多少个小球？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

先讲一个做题的小技巧，

小学奥数中碰见很大的数字时，

通常都是寻找周期规律，

本题也不例外，

今天我们讲清楚规律是怎么出现的。

解题过程需要用到鸽笼原理：

n+1只鸽子放进n个笼子，

定有1个笼子中至少有2只鸽子。

这个原理又称为抽屉原理，

看似简单却作用巨大。

总的解题思路是：

先考虑操作过程是否会出现周期规律，

再寻找周期规律并解决问题。

步骤1：

先思考第一个问题，

操作过程是否会出现周期规律？

5个盒子中共有20个小球，

不同的情况数是有限的共3876种。

对于任意3877次操作，

把这3876种情况看作鸽笼，

把这3877次操作后的情况看作鸽子，

根据鸽笼原理，

一定有2次操作后盒子中小球数相同。

当然实际操作中不一定需要3877次，

可能较小的操作次数都会出现小球数相同。

注意到每次操作只与当前状态有关，

两次操作后小球数相同时，

后续每次操作的小球数都相同，

自然出现了周期性重复的规律。

由于10000大于3877，

因此一定会出现周期规律。

注：3876的计算过程是个典型的分堆问题，

可以采用插板法进行计算，

把20个小球排成一行，

在19个空隙中选4个插入隔板，

不同方法是19*18*17*16/(4*3*2*1)=3876。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目的答案。

从步骤1的结果知道周期一定会出现，

下面试着写几次操作结果寻找规律：

没开始操作前：小球数为8,4,2,1,5

第1次操作后：小球数为7,3,1,5,4,

第2次操作后：小球数为6,2,5,4,3,

第3次操作后：小球数为5,6,4,3,2,

第4次操作后：小球数为4,5,3,2,6,

第5次操作后：小球数为3,4,2,6,5,

第6次操作后：小球数为2,3,6,5,4,

第7次操作后：小球数为6,2,5,4,3。

可以看出第2次与第7次操作后，

5个盒子中的小球数完全相同，

出现了重复的周期规律，

规律是每隔5次操作后重复1次。

由于10000=5*2000，

故第10000次操作后，

盒子中的小球数与第5次操作后相同，

所以第1个盒子中是3个小球。

思考题（3星难度）：

原题目改一个数字。

桌子上有3个盒子，从左到右分别装有5,3,1个相同的小球。每次操作都从其余2个盒子中各拿出1个小球，放入小球数最少的盒子中；如果有2个盒子中小球数相同，就认为其中左侧盒子的小球数较少；如果某个盒子中只有1个小球，则不从其中拿出小球。经过若干次操作后，第1个盒子可能再出现5个小球吗？

微信回复“20191205”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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